Classique : l'expérience de Luria & Delbruck

L'expérience de Luria & Delbruck est un très grand classique de biologie. Il s'agit également de l'un des premiers papiers de modélisation mathématique d'une expérience, ce qui en fait un des précurseurs du mouvement actuel vers la "biologie intégrative". Luria et Delbruck ont reçu le prix Nobel en 1969, en partie pour ces travaux.

La question posée par Luria & Delbruck est de savoir comment les bactéries deviennent résistantes (aux antibiotiques par exemple). Deux hypothèses sont possibles a priori :

• les bactéries exposées aux antibiotiques ont une toute petite probabilité de survivre. Les survivantes acquièrent une immunité et la transmettent à leur descendance. La resistance peut donc être vue comme une réponse à la pression de sélection.
• les bactéries exposées aux antibiotiques sont toutes tuées, exceptées celles qui ont les bonnes mutations génétiques qui leur permettent de passer outre et survivre. Elles transmettent également leurs mutations génétiques à leur descendance. La resistance est donc "révélée" par la pression de sélection mais lui préexiste.

Luria et Delbruck ont compris (et montré dans le papier) que ces différents mécanismes d'apparition de la resistance se traduisent par des distributions de probabilité de resistance très différentes dans la population. Ainsi, dans le premier cas, si toutes les bactéries ont une probabilité égale de survivre, lorsqu'une colonie de bactérie est exposée à un antibiotique, une proportion constante de bactéries va survivre. On s'attend alors à ce que la distribution des bactéries resistantes suivent une loi de Poisson (i.e. en particulier la variance est identique à la moyenne). Dans le second cas au contraire, la proportion de mutants resistants dans la population est beaucoup plus variable. En effet, une fois qu'une bactérie a muté, elle transmet sa mutation à toutes ses descendantes. Si on suppose que toutes les bactéries croissent au même taux, cela signifie que la proportion de bactéries mutantes augmente avec le temps (si on a un taux fixe de mutation, toutes les bactéries mutent si on attend suffisamment longtemps). Du coup, la proportion de mutants dépend très fortement de l'histoire de la colonie : en fait, la proportion de mutants est directement proportionnelle au temps écoulé depuis l'apparition du premier mutant dans la colonie. Luria et Delbruck proposent alors une estimation de la variabilité observée dans ces colonies, et montrent en particulier que la variance du nombre de mutants est beaucoup plus grande que sa moyenne. Cette variance est alors mesurable expérimentalement en comparant plein de colonies, et, cerise sur le gâteau, permet même d'estimer le taux de mutation !



Références :

La page wikipédia
Luria, SE, Delbruck, M. (1943) "Mutations of Bacteria from Virus Sensitivity to Virus Resistance" Genetics 28:491-511. en pdf (les calculs ne sont pas hyper compliqués, cf plus bas pour un résumé)




[Parenthèse mathématique pour ceux qui veulent savoir d'où vient le résultat :
considérons une population de bactéries croissant avec un taux 1, si bien que la population en t est N(t)=N_0 exp(t). Supposons que les bactéries puissent devenir resistantes avec un taux de mutation a.
Le nombre de bactéries ayant muté entre t et t + dt est alors aN(t)dt. Si on appelle r le nombre de bactéries mutantes au temps t, on a donc dr=aN(t)dt+rdt, soit dr/dt= aN(t)+r. Le deuxième terme vient du fait que les bactéries mutantes déjà présentes croissent elles aussi avec un taux 1. Au final, le nombre de bactéries mutantes est donc, en intégrant, r(t)=taN(t), et la proportion de bactéries mutantes est donc ta, donc proportionnelle au temps. Luria et Dellbruck soulignent qu'au début, il n'y aura pas de mutants, si bien qu'ils corrigent cette formule en r(t)=(t-t_0)aN(t), où t_0 est le temps où apparaît le premier mutant.

Ensuite, le même genre de calculs est faisable sur la variance : c'est un peu plus compliqué car comme la population croît exponentiellement, la variance va aussi croître violemment avec le temps, d'où une distribution beaucoup plus large. Plus précisément, on considère d'abord le nombre de mutations entre t-tau et t-tau+dtau :
dm =aN(t-tau)dtau=aN(t)exp(-tau)dtau.
On se ramène au temps t car pour connaître la variance après t, il faut évaluer les contributions indépendantes à cette variance de toutes les mutations apparues avant t. Les mutations se font avec une statistique de Poisson, donc la variance du nombre de mutations est égale à la moyenne ci-dessus. Mais ce n'est pas le cas pour le nombre de mutants à cause de la croissance de la population. En effet, les mutants croissent toujours avec un taux 1, et donc il y a exp(tau) fois plus de mutants issus de cette mutation à t qu'à (t-tau), donc la variance au temps t sur le nombre de mutants apparus à t-tau est exp(2tau) celle sur le nombre de mutations, soit
var_dr=aN(t)exp(tau)dtau.
ce qui donne une variance totale au temps t (en intégrant sur tau)

var_r=aN(t)(exp(t)-1).

Donc var_r/r est proportionnel à exp(t)/t et est donc très grand devant 1; on est très loin de Poisson aux temps longs...

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